Application de la formule de Moivre

Remarque

La formule de Moivre permet d'exprimer  \(\cos(n\theta)\) et \(\sin(n\theta)\) en fonction de \(\cos(\theta)\) et de \(\sin(\theta)\) , en s'aidant de la formule du binôme de Newton. En effet, d'après la formule de Moivre , \(\begin{align*}\cos(n\theta)=Re\left[\left(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\right)^n\right]\ \end{align*}\) et   \(\sin(n\theta) = Im\left[ \left(\cos(\theta)+i\sin(\theta) \right)^n \right].\)

Exemple

Soit \(x \in \mathbb{R}\) .

1. a. Exprimer \(\cos(4x)\) en fonction de \(\cos(x)\) et de \(\sin(x)\) .
    b. En déduire une expression de \(\cos(4x)\) uniquement en fonction de \(\cos(x)\) .

2. Exprimer \(\sin(4x)\) en fonction de \(\cos(x)\) et de \(\sin(x)\) .

Solution

1. a. D'après la formule de Moivre , \((\cos(x)+i\sin(x))^4=\cos(4x)+i\sin(4x)\) .
On en déduit que \(\cos(4x)=Re\left[(\cos(x)+i\sin(x))^4\right]\) .
D'après la formule du binôme de Newton,
\(\begin{align*}(\cos(x)+i\sin(x))^4& = \cos^4(x)+4\cos^3(x)i\sin(x)+6\cos^2(x)(i\sin(x))^2\\& \quad +4\cos(x)(i\sin(x))^3+(i\sin(x))^4\\& = \cos^4(x)+4i\cos^3(x)\sin(x)-6\cos^2(x)\sin^2(x)\\& \quad -4i\cos(x)\sin^3(x)+\sin^4(x).\end{align*}\)
On a donc \(\cos(4x)=\cos^4(x)-6\cos^2(x)\sin^2(x)+\sin^4(x)\) .

b. On a \(\sin^2(x)=1-\cos^2(x)\) , donc 
\(\begin{align*}\cos(4x)& =\cos^4(x)-6\cos^2(x)\sin^2(x)+\sin^4(x)\\& =\cos^4(x)-6\cos^2(x)(1-\cos^2(x))+(1-\cos^2(x))^2\\& = \cos^4(x)-6\cos^2(x)+6\cos^4(x)+1-2\cos^2(x)+\cos^4(x)\\& = 8\cos^4(x)-8\cos^2(x)+1.\end{align*}\)
et donc \(\cos^4(x)=8\cos^4(x)-8\cos^2(x)+1\) .

2. Grâce au même raisonnement qu'à la question1 , on obtient :
\(\begin{align*}\sin(4x)& =Im\left[\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)^4\right]= 4\cos^3(x)\sin(x)-4\cos(x)\sin^3(x).\end{align*}\)